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代數學是數學中最古老的的學科之一，在之後相當長的一段時期內，代數學都曾成為數學的中心。但中世紀過後，傳統的代數學開始沉寂，陷入解方程的泥淖中，而自微積分被發明之後，數學迎來分析學的黃金時代，進而代數學的地位一度岌岌可危，這樣的局面一直持續到19世紀初。進入19世紀後，代數學在眾多數學家的努力之下，終於獲得解放，重獲生機，再次成為數學的中心學科之一 。此時，代數朝著兩個大方向闊步前進，一是由解方程理論所發展出來群論和域論等，代表性數學家有伽羅瓦和阿貝爾等，而第二個大方向則是研究代數本身的內在邏輯與性質，我們今天所介紹的「四元數」便是這一方向的代表性成就。 複數 我們都知道16世紀數學最偉大的成就無疑是徹底解決了三次和四次代數方程的求解問題，而卡爾達諾(Jerome Cardan，1501—1576)則是這一過程中的關鍵人物。為了求解方便，他引入了虛數和複數的概念，但自此之後一兩百年間，複數卻成了數學家的心頭大患，因為沒有人能清楚地說明複數到底是個什麼東西，關於它的運算又是否合理。直到複數可以用來解釋平面向量的運算後，它才在直觀上普遍被數學家們所接受。而在1837年，愛爾蘭著名數學家和力學家哈密頓將複數解釋為滿足一定條件實數的有序對，避免了當時還含糊不清的虛數的使用。簡單來說，把兩個複數a+bi和c+di分別記為(a,b)和(c,d)，那麼它們應滿足: ... 按照這樣的解釋，複數就成為了滿足交換律，結合律和分配律等性質的代數體系。但即便如此，複數的幾何作用仍是數學家乃至物理學家所關注的重點，因為向量實在是太好用了。關於這一點，哈密頓本人也是十分贊同的，有意思的是，以後人的眼光來看，哈密頓更廣為人知的貢獻卻集中在物理領域內，而非數學。 哈密頓 說到這裡，我們還是要簡單介紹一下哈密頓，哈密頓(William Rowan Hamilton 1805～1865)出生於愛爾蘭都柏林，是愛爾蘭歷史上最偉大的數學家，就數學而言，在英國及愛爾蘭地區的歷史地位僅次於牛頓。哈密頓的主要物理貢獻集中在幾何光學以及分析力學，學過相關課程的人應該都清楚他的巨大成就。但從本質上說，哈密頓無疑是數學家，因為這些成就都非常「數學化」，甚至可以看做是數學在物理中的應用。而哈密頓在純數學上最大的貢獻無疑就是大名鼎鼎的「四元數」。 ... 在提出四元數之前，哈密頓和許多數學家都曾致力於尋找「三維複數」，目的則是為了把平面向量的性質平行地推廣到三維空間中，以便為三維空間中的力學等學科找到理想的數學工具。偉大的高斯也曾思考過這個問題，他提出過一種「三維複數」的代數體系，但必須拋棄掉結合律，而這種代數卻不符合實際需要，後來就無人問津了。致力於此的哈密頓在多年尋找以後，也不得不宣告這項計劃的破產，但哈密頓的高明之處在於，他沒有恪守成規，而是去尋找新的突破口。 ... 多年思考和嘗試後，哈密頓意識到三維空間中可能並不存在完全類似於平面複數那樣的代數體系，於是他將目光轉移到了四維空間，但不久之後他還是發現似乎四維空間中也沒有完美的代數體系。回想起高斯的「三維複數」後，哈密頓意識到可能必須要犧牲掉某些過於嚴格的要求，而且關鍵在於如何定義「四元數」的乘積使得這個代數體系自洽。 哈密頓最終靈光一閃，成功構造出「四元數」的故事流傳得相當廣泛，但與很多沒有根據，以訛傳訛的數學故事不同，哈密頓和四元數的最終故事是完全真實的，這可以由他自己寫的回憶佐證。1843年的10月16日，哈密頓和夫人散步來到一座橋時，他駐足思考良久，突然間幸運女神降臨，哈密頓想清楚了四元數乘法定義的所有關鍵細節。興奮不已的哈密頓趕緊拿出隨身攜帶的筆記本將細節寫下來，四元數便這麼誕生了！ ... 哈密頓發表於1858年的回憶 四元數 四元數的基本形式為a+bi+cj+dk，a,b,c,d為實數，a為數量部分，bi+cj+dk為向量部分，其中的i,j,k類似於虛數。它們之間的加法完全和複數一樣，而定義i,j,k的乘積法則如下： ... 在這樣的規定之下，四元數成為一個非交換的結合代數。四元數的問世極大地震撼了當時的數學界，原因就在於它的非交換性，交換性在數學家的眼中是代數的固有性質，而這樣的非交換代數的橫空出世衝垮了許多人的心理防線。哈密頓本人對這個來之不易的四元數極其珍視，認為它將和微積分一樣在數學和物理中發揮重要的作用。哈密頓身先士卒，利用四元數，他先後定義了如今我們熟知的梯度，散度和旋度等微分算子，並且應用到物理中去。 ... 梯度算子 向量分析與結合代數 四元數就像一枚重磅炸彈在科學界炸開，直接導致支持派和反對派的對立，在哈密頓提出四元數後的幾十年里，由於它的實用性還比較有限，許多物理學家寧願使用原來的笛卡爾坐標而放棄四元數。但後來還是有人發現了四元數的巨大潛力，這就是偉大的麥克斯韋(James Clerk Maxwell,1831〜1879,英國著名物理學家，經典電動力學和統計物理奠基人)。結合自己的研究工作，麥克斯韋洞察到了哈密頓的局限，那就是他往往整個地使用四元數而不區分數量和向量部分。麥克斯韋在獨立使用四元數的數量和向量部分後，把哈密頓原先所定義的散度等概念應用到向量函數上，並且還重新定義了一個新的微分算子，也就是拉普拉斯算子。 ... 麥克斯韋 這樣強有力的數學工具在麥克斯韋的電磁學研究中起到了重要作用，這直接體現在了他非常著名的麥克斯韋方程組當中。麥克斯韋的工作真正展現了四元數的巨大作用，表明了它可以發揮的作用絕不僅僅是使得計算更方便而已，而在此基礎上則發展出了「向量分析」這一全新的數學學科。 ... 麥克斯韋方程組 與哈密頓同時代的另一位數學家格拉斯曼(Hermann Gunther Grassmann,1809～1877)也在進行推廣複數的工作，他的工作即所謂的「線性擴張論」，特別地，格拉斯曼定義出了向量的內積和外積等概念，所產生的結果在許多方面和哈密頓的四元數相關聯。儘管格拉斯曼也致力於將「超複數」的成果應用到物理中去，但由於格拉斯曼的研究獨創性太強且敘述語言又晦澀，以致於同時代的數學家基本上都無法接受他的成果。 ... 向量外積 到了19世紀80年代，四元數的第一個正式副產物開始誕生，這就是三維「向量分析」，而且準確來說，「向量分析」是四元數向量部分所引出來的，這些是由吉布斯和赫維賽共同發展起來的。吉布斯(Josiah Willard Gibbs，1839~1903)是美國耶魯大學的數學物理教授，也是著名的物理化學家，學過化學的同學可能都聽說著名的「吉布斯現象」，而且此吉布斯正是彼吉布斯，實際上吉布斯是數學，物理和化學三方面的全才。赫維賽(Oliver Heaviside，1850~1925)的名氣同樣也不小，他在電磁學及其應用上都做出過傑出貢獻，將麥克斯韋方程組改寫成了如今的模樣，而且提出了著名的赫維賽函數。 ... 赫維賽函數 吉布斯和赫維賽所發展的向量分析中定義了兩種不同的乘積，即內積和外積(又稱向量積)，但它們都與四元數中的乘積有所不同，在內積下向量構成一個可交換而不可結合的代數，而在外積下，向量既不可交換也不可結合。兩種乘積下的向量分析都在物理和數學中發揮了巨大作用，例如它們可以用到電磁學，流體力學，解析幾何和微分幾何等學科。 同時，四元數也推動了數學家去尋找更多滿足不同定律的代數系統，這其中著名的還有凱萊的八元數和克利福德的擬四元數，矩陣論興起後，人們也發現矩陣在矩陣乘法下構成一個不可交換的結合代數，而這應用到物理中又促進了矩陣力學的誕生。赫維茨最終在1898年證明了一個重要的結論，算是在19世紀末給這個經典問題畫上了圓滿的句號： 滿足乘法定律的線性結合代數僅有實數，複數，哈密頓四元數以及克利福德擬四元數。 直到20世紀，研究各種各樣滿足不同定律的代數都仍然是一個重要的課題。 結語 在哈密頓的四元數問世不久後，熱力學之父開爾文曾不懷好意地說過： 向量是無用的倖存物或四元數的無價值支流，對任何創造，從未發揮過哪怕是最細微的實際作用…… ... 但之後幾十年四元數及向量所發揮的巨大作用絕對是當時的開爾文想不到的，而且他的「打臉言論」在多年之後再次上演，也就是我們今天津津樂道的「物理中的兩朵烏雲」。從數學的長遠發展來看，要提出革命性的新事物往往會遭遇巨大的阻力，例如羅巴切夫斯基的非歐幾何，伽羅瓦理論，勒貝格的實變函數論等等，但事實證明，真理無論被埋沒多少年都會最終散發它的耀眼光芒。當回溯今天所介紹的內容後，我們都應發現，哈密頓和他的四元數就是這一切的源頭。

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